Hay una historia popular queGauss, extraordinario matemático, tuvo un profesor vago. El llamado educador quería mantener a los niños ocupados para poder tomar una siesta; pidió a la clase que sumaran los números del 1 al 100.
Gauss se acercó con su respuesta: 5050. ¿Tan pronto? El profesor sospechó una trampa, pero no. La suma manual era para tontos, y Gauss encontró una fórmula para eludir el problema:
Compartamos algunas explicaciones de este resultado y realmente entendámoslo intuitivamente. Para estos ejemplos, sumaremos 1 a 10 y luego veremos cómo se aplica de 1 a 100 (o 1 a cualquier número).
Técnica 1: números de pares
Emparejar números es un enfoque común para este problema. En lugar de escribir todos los números en una sola columna, envolvamos los números, así:
1 2 3 4 510 9 8 7 6Surge un patrón interesante:la suma de cada columna es 11. A medida que aumenta la fila superior, disminuye la fila inferior, por lo que la suma permanece igual.
Como 1 está emparejado con 10 (nuestro n), podemos decir que cada columna tiene (n+1). ¿Y cuántos pares tenemos? Bueno, tenemos 2 filas iguales, debemos tener n/2 pares.
que es la fórmula anterior.
Espera, ¿qué pasa con un número impar de elementos?
Ah, me alegro de que lo hayas mencionado. ¿Qué pasa si estamos sumando los números del 1 al 9? No tenemos un número par de elementos para emparejar. Muchas explicaciones solo darán la explicación anterior y lo dejarán así. no lo haré
Agreguemos los números del 1 al 9, pero en lugar de comenzar desde 1, contemos desde 0:
0 1 2 3 49 8 7 6 5Al contar desde 0, obtenemos un "elemento adicional" (10 en total) por lo que podemos tener un número par de filas. Sin embargo, nuestra fórmula se verá un poco diferente.
Observe que cada columna tiene una suma de n (no n+1, como antes), ya que 0 y 9 están agrupados. Y en lugar de tener exactamente n elementos en 2 filas (para n/2 pares en total), tenemos n + 1 elementos en 2 filas (para (n + 1)/2 pares en total). Si conectas estos números obtienes:
que es la misma fórmula que antes. Siempre me molestó que la misma fórmula funcionara tanto para números pares como impares: ¿no obtendrás una fracción? Sí, obtienes la misma fórmula, pero por diferentes razones.
Técnica 2: Use dos filas
El método anterior funciona, pero manejas los números pares e impares de manera diferente. ¿No hay una mejor manera? Sí.
En lugar de dar vueltas a los números, escribámoslos en dos filas:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 9 8 7 6 5 4 3 2 1Note que tenemos 10 pares, y cada par suma 10+1.
El total de todos los números anteriores es
Pero solo queremos la suma de una fila, no ambas. Entonces dividimos la fórmula anterior por 2 y obtenemos:
Ahora bien, esto es genial (tan genial como pueden ser las filas de números). ¡Funciona para un número par o impar de elementos iguales!
Técnica 3: Hacer un Rectángulo
Recientemente me topé con otra explicación, un nuevo enfoque a la antigua explicación de emparejamiento. Diferentes explicaciones funcionan mejor para diferentes personas, y tiendo a gustarme más esta.
En lugar de escribir números, imagina que tenemos frijoles. Queremos agregar 1 frijol a 2 frijoles a 3 frijoles... todo el camino hasta 5 frijoles.
xx xx x xx x x xx x x x xClaro, podríamos ir a 10 o 100 frijoles, pero con 5 te haces una idea. ¿Cómo contamos el número de frijoles en nuestra pirámide?
Bueno, la suma es claramente 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Pero veámoslo de otra manera. Digamos que reflejamos nuestra pirámide (usaré "o" para los frijoles reflejados) y luego la derribamos:
x o x o o o o buey x o o x x o o o buey x x o o o => x x x o o buey x x x o o o o x x x x o buey x x x x o o o o o x x x x x oGenial, ¿eh? En caso de que se pregunte si "realmente" se alinea, lo hace. Fíjate en la fila inferior de la pirámide regular, con 5′x (y 1o). La siguiente fila de la pirámide tiene 1 menos x (4 en total) y 1 más o (2 en total) para llenar el espacio. Al igual que el emparejamiento, un lado aumenta y el otro disminuye.
Ahora la explicación: ¿Cuántos frijoles tenemos en total? Bueno, eso es solo el área del rectángulo.
Tenemos n filas (no cambiamos el número de filas en la pirámide) y nuestra colección tiene (n + 1) unidades de ancho, ya que 1 "o" está emparejada con todas las "x".
Tenga en cuenta que esta vez, no nos importa si n es par o impar: la fórmula del área total funciona bien. Si n es impar, tendremos un número par de elementos (n+1) en cada fila.
Pero, por supuesto, no queremos el área total (el número de x y o), solo queremos el número de x. Dado que duplicamos las x para obtener las o, las x por sí solas son solo la mitad del área total:
Y volvemos a nuestra fórmula original. Nuevamente, el número de x en la pirámide = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, o la suma de 1 a n.
Técnica 4: promediar
Todos sabemos eso
promedio = suma / número de elementos
que podemos reescribir
suma = promedio * número de artículos
Así que vamos a averiguar la suma. Si tenemos 100 números (1…100), entonces claramente tenemos 100 elementos. Eso fue fácil.
Para obtener el promedio, observe que los números están todos igualmente distribuidos. Por cada número grande, hay un número pequeño en el otro extremo. Veamos un pequeño conjunto:
1 2 3El promedio es 2. 2 ya está en el medio, y 1 y 3 se “cancelan”, por lo que su promedio es 2.
Para un número par de elementos
1 2 3 4el promedio está entre 2 y 3, es 2.5. Aunque tenemos un promedio fraccionario, esto está bien, ya que tenemos uninclusocantidad de artículos, cuando multiplicamos el promedio por el conteo esa fea fracción desaparecerá.
Observe que en ambos casos, 1 está en un lado del promedio y N está igualmente lejos en el otro. Entonces, podemos decir que el promedio de todo el conjunto es en realidad solo el promedio de 1 y n: (1 + n)/2.
Poner esto en nuestra fórmula
¡Y voilá! Tenemos una cuarta forma de pensar en nuestra fórmula.
Entonces, ¿por qué es esto útil?
Tres razones:
1) Sumar números rápidamente puede ser útil para la estimación. Observe que la fórmula se expande a esto:
Supongamos que desea sumar los números del 1 al 1000: suponga que recibe 1 visitante adicional en su sitio cada día: ¿cuántos visitantes totales tendrá después de 1000 días? Desdemil al cuadrado = 1 millon, obtenemosmillones / 2 + 1000/2 = 500 500.
2) Este concepto de sumar números 1 a N aparece en otros lugares, como calcular la probabilidad de queparadoja de cumpleaños. Tener una comprensión firme de esta fórmula ayudará a su comprensión en muchas áreas.
3) Lo que es más importante, este ejemplo muestra que hay muchas maneras de entender una fórmula. Tal vez te guste el método de emparejamiento, tal vez prefieras la técnica del rectángulo, o tal vez haya otra explicación que funcione para ti.no te rindascuando no entienda, intente encontrar otra explicación que funcione. Matemáticas felices.
Por cierto,hay mas detallessobre la historia de esta historia y la técnica que Gauss pudo haber usado.
variaciones
En lugar de 1 a n, ¿qué tal 5 a n?
Comience con la fórmula regular (1 + 2 + 3 + … + n = n * (n + 1) / 2) y reste la parte que no desea (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10).
Suma de 5 + 6 + 7 + 8 + … n = [n * (n + 1) / 2] – 10Y para cualquier número inicial a:
Suma de a a n = [n * (n + 1) / 2] – [(a - 1) * a / 2]Queremos deshacernos de todos los números desde el 1 hasta el – 1.
¿Qué hay de los números pares, como 2 + 4 + 6 + 8 + … + n?
Simplemente duplique la fórmula regular. Para sumar pares del 2 al 50, encuentra 1 + 2 + 3 + 4 … + 25 y duplícalo:
Suma de 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/2) = 2 * n/2 * (n/2 + 1) / 2 = n/2 * (n /2 + 1)Entonces, para sacar los pares de 2 a 50 harías 25 * (25 + 1) = 650
¿Qué hay de los números impares, como 1 + 3 + 5 + 7 + … + n?
Es lo mismo que la fórmula par, excepto que cada número es 1 menos que su contraparte (tenemos 1 en lugar de 2, 3 en lugar de 4, y así sucesivamente). Obtenemos el siguiente número par más grande (n + 1) y quitamos los elementos adicionales (n + 1)/2 "-1":
Suma de 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = [(n + 1)/2 * ((n + 1)/2 + 1)] – [(n + 1) / 2]Para sumar 1 + 3 + 5 + … 13, obtenga el siguiente mayor par (n + 1 = 14) y haga
[14/2 * (14/2 + 1)] – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49Combinaciones: pares y compensados
Digamos que quieres los pares de 50 + 52 + 54 + 56 + … 100. Encuentra todos los pares
2 + 4 + 6 + … + 100 = 50 * 51y resta los que no quieras
2 + 4 + 6 + … 48 = 24 * 25Entonces, la suma de 50 + 52 + … 100 = (50 * 51) – (24 * 25) = 1950
¡Uf! Espero que esto ayude.
Empollones de Ruby: pueden verificar esto usando
(50..100).seleccione {|x| x % 2 == 0 }.inyectar(:+)1950Geeks de Javascript, hagan esto:
[...Array(51).keys()].map(x => x + 50).filter(x => x % 2 == 0).reduce((x, y) => x + y) 1950// Nota: Hay 51 números del 50 al 100, inclusive. ¡Poste de la cerca!Otras publicaciones en esta serie
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